
\chapter{ABCofRBC}
\section{基本的索罗模型}
\section{OLG模型的储蓄}
\section{无限期生存的行为人}
变分法求得稳态。根本思路在于先假定内生变量在$ s-1 $和$ s+1 $期的值都是给定的，再利用一阶条件最大化$ s $期的目标方程，然后因为稳态时内生变量各期值应该相同，就此就可以得到稳态。
\subsection{固定劳动投入的RC经济}
举例最为方便。在RC模型中，时期$ t $的消费为，
\[ c_t=f(k_t)-k_{t+1}+(1-\delta)k_t \]

毕生效用函数为，
\[ \sum_{t=0}^\infty \beta^t u[f(k_t)-k_{t+1}+(1-\delta)k_t] \]

把$ k_t,k_{t+2} $均看作给定的，则可以得到关于$ k_{t+1} $期的一阶条件为，
\[ u'[f(k_t)-k_{t+1}+(1-\delta)k_t]=\beta u'[f(k_{t+1})-k_{t+2}+(1-\delta)k_{t+1}][f'(k_{t+1})+(1-\delta)] \]

再令$ k_{t+1}=k_{t+2}=k_t=\bar k $，则可以得到，
\[ f'(\bar k)=\frac{1}{\beta}-1+\delta \]
\subsection{可变劳动投入的RC经济}
个体效用函数为，
\begin{align}\nonumber
\sum_{t=0}^\infty & \beta^t\bar u(c_{t},l_{t})=\sum_{t=0}^\infty \beta^t\bar u(c_{t},1-h_{t})=\sum_{t=0}^\infty \beta^t u(c_{t},h_{t})\\\label{vl1}
s.t.\hspace{2em} & k_{t+1}=(1-\delta)k_t+i_t\\\label{vl2}
& y_t=f(k_t,h_t)=c_t+i_t
\end{align}
其中，$ l_t $是闲暇，从而$ h_t=1-l_t $是工作时间。该最优规划的拉格朗日函数为，
\[ \mathcal{L}=\sum_{i=0}^\infty \beta^t[u(c_{t},h_{t})-\lambda_{1,t}(k_{t+1}-(1-\delta)k_t-i_t)-\lambda_{2,t}(f(k_t,h_t)-c_t-i_t)] \]
四个一阶条件为，
\begin{align}\label{vl3}
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial c_t}& = u_c(c_t,h_t)+\lambda_{2,t}=0\\\label{vl4}
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial h_t}& = u_h(c_t,h_t)-\lambda_{2,t}f_h(k_t,h_t)=0\\\label{vl5}
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial k_{t+1}}& =-\lambda_{1,t}+\beta\lambda_{1,t+1}(1-\delta)-\beta\lambda_{2,t+1}f_k(k_{t+1},h_{t+1})=0\\\label{vl6}
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial i_{t}}&=\lambda_{1,t}+\lambda_{2,t}=0
\end{align}

方程\eqref{vl1}式至\eqref{vl6}式构成整个系统。先整理一下，以消去两个$ \lambda $，
\begin{align}\label{vl7}
\frac{u_h(c_t,h_t)}{u_c(c_t,h_t)}&=-f_h(k_t,h_t)\\\label{vl8}
\frac{u_c(c_t,h_t)}{u_c(c_{t+1},h_{t+1})}&=\beta[f_k(k_{t+1},h_{t+1})+(1-\delta)]
\end{align}

此时可以考察均衡状态，即忽略时间脚标，那么首先是资本存量的\eqref{vl8}式可以写成，
\begin{equation}\label{vl9}
 \frac{1}{\beta}-(1-\delta)=f_k(k,h)
\end{equation}
\eqref{vl7}式写成，
\begin{equation}\label{vl10}
 \frac{u_h(c,h)}{u_c(c,h)}=-f_h(k,h)
\end{equation}
\eqref{vl1}式写成，
\begin{equation}\label{vl11}
 \delta k=f(k,h)-c
\end{equation}

三个未知数$ c,h,k $，三个方程，\eqref{vl9}-\eqref{vl11}。
\subsection{竞争经济}
前面考察的是只有一个人的经济，现在假设许多完全相同的个体构成行为人总体，并标准化为1，即总人数是1。消费者向市场供给劳动，厂商以竞争性工资$ w_t $雇佣劳动，其生产函数为$ f(K_t,H_t) $，大写表示社会中的资本和劳动总量，其使用资本的利率为$ r_t $。因为厂商是竞争的，所以劳动边际产出等于工资，资本边际产出等于利率。

个体$ i $的最优规划为，
\begin{align*}
\max&\sum_{t=0}^\infty \beta^tu(c_t^i,h_t^i)\\
s.t.\hspace{1em}&c_t^i=w_th_t^i+r_tk_t^i-I_t^i\\
& w_t=f_h(K_t,H_t)\\
& r_t=f_k(K_t,H_t)\\
&k_{t+1}^i=(1-\delta)k_t^i+I_t^i
\end{align*}
$ I_t^i $表示个体$ i $在$ t $期的投资。那么把工资和利息方程代入消费约束，则上式的拉格朗日函数可以写成，
\[ \mathcal{L}^i=\sum_{t=0}^\infty\beta^t[u(c_t^i,h_t^i)-\lambda_{1,t}(k_{t+1}^i-(1-\delta)k_t^i-I_t^i)-\lambda_{2,t}(f_h(K_t,H_t)h_t^i+f_k(K_t,H_t)k_t^i-c_t^i-I_t^i)] \]

类似的，四个一阶条件为，
\begin{align*}
\frac{\partial \mathcal{L}^i}{\partial c_t^i}& = u_c(c_t^i,h_t^i)+\lambda_{2,t}=0\\
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial h_t}& = u_h(c_t^i,h_t^i)-\lambda_{2,t}f_h(K_t,H_t)=0\\
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial k_{t+1}}& =-\lambda_{1,t}+\beta\lambda_{1,t+1}(1-\delta)-\beta\lambda_{2,t+1}f_k(K_{t+1},H_{t+1})=0\\
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial i_{t}}&=\lambda_{1,t}+\lambda_{2,t}=0
\end{align*}
消去两个$ \lambda $，再联合预算约束，得到，
\begin{align}\label{vl13}
\frac{u_h(c_t,h_t)}{u_c(c_t,h_t)}&=-f_h(K_t,H_t)\\\label{vl14}
\frac{u_c(c_t,h_t)}{u_c(c_{t+1},h_{t+1})}&=\beta[f_k(K_{t+1},H_{t+1})+(1-\delta)]\\\label{vl12}
k_{t+1}^i&=(1-\delta)k_t^i+f_h(K_t,H_t)h_t^i+f_k(K_t,H_t)k_t^i-c_t^i
\end{align}
以及两个加总规则，
\[ H_t=\int_{0}^{1}h_t^idi,\hspace{2em}K_t=\int_{0}^1k_t^idi \]
注意这个积分，如果个体都是一模一样的，那么这个积分里面的这个函数，$ h_t^i $或者$ k_t^i $就是个常数，对这个常数积分，很明显，
\[ H_t=h_t^i,\hspace{2em}K_t=k_t^i \]

如果生产函数一次齐次，厂商完全竞争，从而零利润。这就意味着下式成立，
\[ f_k(K_t,H_t)H_t+f_k(K_t,H_t)K_t=f(K_t,H_t) \]
如果我们把预算约束\eqref{vl12}式进行个体汇总，再利用上式就有，
\[ K_{t+1}=(1-\delta)K_t+f(K_t,H_t)-\int_{0}^1c_t^idi=(1-\delta)K_t+f(K_t,H_t)-C_t \]

因为个体相同，一阶条件可以直接替换成总量形式，
\begin{align}\label{vl15}
\frac{u_h(C_t,H_t)}{u_c(C_t,H_t)}&=-f_h(K_t,H_t)\\\label{vl16}
\frac{u_c(C_t,H_t)}{u_c(C_{t+1},H_{t+1})}&=\beta[f_k(K_{t+1},H_{t+1})+(1-\delta)]\\\label{vl17}
K_{t+1}&=(1-\delta)K_t+f(K_t,H_t)-C_t
\end{align}

比较个体均衡的\eqref{vl13}式至\eqref{vl12}式，以及总体均衡的\eqref{vl15}式至\eqref{vl17}，会发现它们竟然是一模一样的。

\subsection{第二福利定理}

\begin{thm}[福利经济学第二定理]
	如果消费者的偏好和厂商的生产集是凸的，则市场是完全的，且市场价格是众所周知的，每个行为人都是价格接受者，那么，只要允许安排适当的一次性财富转移支付，则任何帕累托最优结果都可以通过竞争均衡来实现。
\end{thm}

这里举一个包含扭曲的例子，说明此时的竞争经济与上一小节讲的代表性行为人经济的均衡是不一样的。这也意味着如果存在扭曲，就不能用代表性行为人去模仿这个经济。在模型中加入政府，政府征收工资所得税，然后通过一次性转移支付把税再返还给每个家庭。设税率为$ t_w $，$ t $期一次性转移的总量为$ T_t $，因此，政府的预算约束为，
\[ t_ww_tH_t=T_t \]


\section{确定性递归模型}
尽管变分法可以得到稳态，但有个时候，我不仅禁感兴趣稳态，我们也想知道稳态之前的运动路径，这就需要另外一种递归的方法，动态最优控制理论。
\subsection{状态和控制}
对一个一个简单的单人RC模型，鲁滨孙需要最大化其贴现后的毕生效用函数，
\begin{align*}
max\; & \sum_{i=0}^\infty \beta_iu(c_{t+i})\\
s.t.\;& k_{t+1}=(1-\delta )k_t+i_t\\
& y_t=f(k_t)=c_t+i_t
\end{align*}

控制变量的选择往往对解题难易产生重大影响。但要记住，无论选择谁作为控制变量，都必须有足够的市场或者预算约束使得可以确定时期t其他相关变量的取值。
本例中，$c_t $或者$k
_{t+1} $都可以作为控制变量。
当选择好了$c_t $，根据第二个约束，就选择好了$i_t $，再根据第一个约束就选择好了$k
_{t+1} $ 。
当选择好了$k
_{t+1} $，根据第一个约束就选好了$i_t $	，再根据第二个约束就选好了$c_t $。数学上，这就表现为
\[c_t=f(k_t)+(1-\delta)k_t-k_{t+1}\]

于是目标函数可以写为，
\[max\; \sum_{i=0}^{\infty}\beta_iu(f(k_t)+(1-\delta)k_t-k_{t+1})\]

\subsection{值函数}
如果现在我们来控制$k_{t+1} $，那么效用的值函数为，
\begin{equation}\label{eq1}
V(k_t)=max_{\{k_s\}_{s=t+1}^\infty}\sum_{i=0}^\infty \beta^iu(f(k_{t+i})+(1-\delta)k_{t+i+1}-k_{t+i})
\end{equation}
用$V(k_t) $表示贴现后的效用值，是为了强调它是初始资本存量的函数。稍微改变下标，将其往前推进一期，有，
\[
V(k_{t+1})=\max_{\{k_s\}_{s=t+2}^\infty}\sum_{i=0}^\infty \beta^iu(f(k_{t+i+1})+(1-\delta)k_{t+2+i}-k_{t+1+i})
\]

对于\eqref{eq1}式可以将$t$期的表达剥离出来，写成一个$t$期与$t$以后时期的一个表达如下，
\begin{align*}
V(k_t)= & \max_{k_{t+1}}[u(f(k_t)+(1-\delta)k_t-k_{t+1})\\
& +\max_{\{k_s\}_{s=t+2}^\infty}\sum_{i=1}^\infty \beta^iu(f(k_{t+i})+(1-\delta)k_{t+1+i}-k_{t+i})]
\end{align*}

将上式第二部分$i$的取值从0开始，那么，上式可以写为，
\begin{align*}
V(k_t)= & \max_{k_{t+1}}[u(f(k_t)+(1-\delta)k_t-k_{t+1})\\
& +\beta \max_{\{k_s\}_{s=t+2}^\infty}\sum_{i=0}^\infty \beta^iu(f(k_{t+i})+(1-\delta)k_{t+1+i}-k_{t+i})]
\end{align*}
即，
\begin{equation}\label{eq2}
V(k_t)=  \max_{k_{t+1}}[u(f(k_t)+(1-\delta)k_t-k_{t+1})+\beta V(k_{t+1})]
\end{equation}

形如\eqref{eq2}式的方程就称为Bellman方程。它表达的问题与\eqref{eq1}式相同，只是它是一个递归形式。它将一个多时期的动态优化变成了通过选择$k_{t+1} $的单期的优化问题。对上式一阶求导并令之为0，可得到，
\begin{equation}\label{eq3}
-u'[f(k_t)-k_{t+1}+(1-\delta )k_t]+\beta V'(k_{t+1}))=0
\end{equation}
实际上，问题并没有变得更简单，因为$V'(k_{t+1}) $未知。然而包络定理表明值函数对某参数的导数等于拉格朗日函数对该参数的偏导在最优处的取值。那么观察\eqref{eq2}式，在那里，$k_{t+1} $是控制变量，$k_t $是一个参数，于是根据包络定理，
\[
V'(k_t)=u'[f(k_t)-k_{t+1}+(1-\delta )k_t]
(f'(k_t)+(1-\delta))\]
即
\[
V'(k_{t+1})=u'(c_{t+1})(f'(k_{t+1})+(1-\delta))
\]
代入\eqref{eq3}式，可以得到
\[
\frac{u'(c_t)}{u'(c_{t+1})}=\beta(f'(k_{t+1})+(1-\delta))
\]
稳态时，$c_t=c_{t+1} $，故稳态的欧拉方程为，
\[
\frac{1}{\beta}-(1-\delta)=f'(\bar k)
\]
\subsection{一般形式}
令$x_t $为$t$时期状态变量所组成的向量，$ y_t $为$t$时期控制变量所组成的向量。$F(x_t,y_t) $为$t$时期需要最大化的目标函数值。在上例中，给定初始状态变量$ x_t $的值，要求解的问题是值函数，
\[
V(x_t)=\max_{\{y_s\}_{s=t}^\infty}\sum_{s=t}^\infty \beta^{s-t}F(x_s,y_s)
\]
其预算约束集为所有$s\ge t $时期的
\[
x_{s+1}=G(x_s,y_s)
\]

在满足$s\ge t $各个时期，目标函数$F$和约束$G$形式都是相同的。那么根据前述讲解，值函数就可以写成递归形式，即Bellman方程，
\[
V(x_t)=\max_{y_t}[F(x_s,y_s)+\beta V(x_{t+1})]
\]

满足约束，
\[
x_{s+1}=G(x_s,y_s)
\]

或者将约束代入目标函数，可得
\begin{equation}\label{eq4}
V(x_t)=\max_{y_t}[F(x_t,y_t)+\beta V(G(x_t,y_t))]
\end{equation}

求解就可以得到控制变量关于t时期状态变量的函数
\[
y_t=H(x_t)
\]

此即政策函数。如果假设我们已经得到了政策函数，那么将政策函数代入\eqref{eq4}式，就有
\[
V(x_t)=F(x_t,y_t)+\beta V[G(x_t,H(x_t))]
\]

上式不再有最大化符号，因为这种优化已经隐含在政策函数中了。
所以，关键在于求得政策函数。对\eqref{eq4}式按照控制变量得到一阶条件，
\begin{equation}\label{eq5}
F_y(x_t,y_t)+\beta V'(G(x_t,y_t))G_y(x_t,y_t)=0
\end{equation}

其中，$F_y $是目标函数对控制变量的偏导，$V'(G(x_t,y_t)) $是值函数对$t+1$期状态变量的偏导，$G_y $是预算约束对控制变量的偏导。关键在于$V'(G(x_t,y_t)) $，一般是用包络定理来求。包络定理表明，
\[
V'(x_t)=F_x(x_t,y_t)+\beta V'(G(x_t,y_t))G_x(x_t,y_t)
\]

针对这样的表达式，可以通过对控制变量的艺术选择，使得$G_x(x_t,y_t)=0 $，则上式可以简化为，
\[
V'(x_t)=F_x(x_t,y_t)
\]

一阶条件\eqref{eq5}式就可以简化为，
\begin{equation}\label{eq6}
F_y(x_t,y_t)+\beta F_x[G(x_t,y_t),y_{t+1}]G_y(x_t,y_t)=0
\end{equation}

现在就可以分情况来讨论，
\begin{enumerate}
	\item 如果$F_x[G(x_t,y_t),y_{t+1}] $与$y_{t+1} $无关，那么\eqref{eq6}式就给出了政策函数的隐函数形式，于是就可以得到值函数的隐函数形式。
	\item 如果$F_x[G(x_t,y_t),y_{t+1}] $与$y_{t+1} $相关，那么可以按照$y_{t+1}=y_t $来求出稳态情况。
\end{enumerate}

如果非常遗憾地，对控制变量的选择无法达到$G_x(x_t,y_t)=0 $，则需要数值解来得到值函数。数值解的步骤如下，
\begin{enumerate}
	\item 给出一个值函数的初始猜测$V_0(x_t) $，初值是什么不重要，所以有时干脆令之为0。
\item	使用$V_1(x_t)=\max_{y_t}[F(x_t,y_t)+\beta V_0(G(x_t,y_t))] $来得到新的值函数$V_1(x_t) $。在$x_t$的定义域内给出一系列的点，然后针对每个点运用计算机最大化算法得到数值。以此类推，在某些条件满足的前提下，该序列会收敛到值函数$V(x_t) $。	
\end{enumerate}

实际上，该过程中，政策函数也被描绘。每一个给定的$ x_t $所对应的序列$y_t$的极限点，精确的刻画了政策函数$y_t=H(x_t) $。	

\subsection{回到实例经济}
回到本章开始的最优化问题，其目标函数为
\[
F(x_t,y_t)=u(f(k_t)-k_{t+1}+(1-\delta)k_t)
\]

所谓预算约束的目的就是要通过$t$期的控制和状态变量来确定$t+1$期的状态变量。本例中，十分特殊，$t$期的控制变量就是$t+1$的状态变量，因此，不需要具体的函数形式$G$，只要通过$t$期状态和控制变量，就已经知道了$t+1$期的状态变量。

如果选择$ c_t $作为控制变量，那么需要重新定义目标函数和预算约束。此时目标函数为，
\[
F(x_t,y_t)=u(c_t)
\]

预算约束为
\[
k_{t+1}=f(k_t)+(1-\delta)k_t-c_t
\]

对应的Bellman方程为，
\[
V(k_t)=max_{c_t}\; [u(c_t)+\beta V(f(k_t)+(1-\delta)k_t-c_t)]
\]

但此时使用包络定理，得到
\[
\frac{\partial G(x_t,y_t)}{\partial x_t}=f'(k_t)+(1-\delta)
\]

于是，
\begin{align*}
V'(x_t) & =F_x(x_t,y_t)+\beta V'(G(x_t,y_t))G_x(x_t,y_t)\\
& = \beta V'(G(x_t,y_t))(f'(k_t)+(1-\delta))\\
\end{align*}

值函数又被转换成了值函数的导数及其他项的表达式，没有任何改进。为了避免这种情况，最好就是尽可能多的把模型都放进目标函数，\textbf{让预算约束中不再含有$t$时期的状态变量}。
\subsection{值函数的逼近}
考虑具体的函数形式，生产函数为，
\[
f(k_t)=k_t^{\theta}
\]

其中$0<\theta<1 $，效用函数为
\[
u(c_t)=ln(c_t)
\]

对应的Bellman方程为，
\[
V(k_t)=max_{k_{t+1}}\; [ln(k_t^\theta-k_{t+1}+(1-\delta)k_t)+\beta V(k_{t+1})]
\]

为使可以使用递归方法逼近$V(\cdot) $，需要各参数值，然后进行迭代。看程序会比较清晰。
\subsection{一个可变劳动的例子}

\section{随机性递归模型}
求导符号可以穿过期望算子。
\section{Hansen 的RBC模型}\label{sec1}

第5章讲述的随机化，在维数较小的时候是可行的，一旦维数变大，计算将十分巨大以致根本不可行，需要一些其他的技术做出处理。
\subsection{Hansen的基本模型}
一个RC经济体，其贴现后效用函数如下，
\[max\; \sum_{t=0}^\infty \beta^tu(c_t,l_t)\]

其中，$c_t $是时期$t$的消费量，$l_t $时期$t$的闲暇且$l_t=1-h_t $，$h_t $是时期$t$的劳动。效用函数的具体形式如下，
\[u(c_t,1-h_t)=lnc_t+Aln(1-h_t)\]

其中$A>0 $。生产函数为包含随机技术的柯布道格拉斯形式，
\[f(\lambda_t,k_t,h_t)=\lambda_t k_t^\theta h_t^{1-\theta}\]

其中$\lambda_t $服从如下随机过程，
\[
\lambda_{t+1}=\gamma \lambda_t +\varepsilon_{t+1}
\]

其中，$0<\gamma<1 $，$\varepsilon_t $独立同分布，正值，上有界，均值为$1-\gamma $。\textbf{这些假设保证了$\lambda_t $的均值为1，且产出不为负值}。资本积累满足下式，
\[k_{t+1}=(1-\delta)k_t+i_t\]

任意时期$t$，有预算约束，
\[f(\lambda_t,k_t,h_t)\ge c_t+i_t\]

\paragraph{上述模型的Bellman方程可以表达为,}
\begin{align*}
V(k_t,\lambda_t)=&\max_{c_t,h_t}\; lnc_t+Aln(1-h_t)+\beta E_t[V(k_{t+1},\lambda_{t+1})|\lambda_t]\\
s.t.\quad & \lambda_t k_t^\theta h_t^{1-\theta}\ge c_t+i_t\\
& \lambda_{t+1}=\gamma \lambda_t+\varepsilon_{t+1}\\
& k_{t+1}=(1-\delta)k_t+i_t
\end{align*}

对于上述最大化表述，我们希望将控制变量$ c_t,h_t $转换成$k_{t+1},h_t $，通过预算约束的代换，可以得到，
\begin{align*}
V(k_t,\lambda_t)=\max_{k_{t+1},h_t}\; & ln[\lambda_t k_t^\theta h_t^{1-\theta}+(1-\delta)k_t-k_{t+1}]+Aln(1-h_t)+\\
& \beta E_t[V(k_{t+1},\lambda_{t+1})|\lambda_t]
\end{align*}

该Bellman方程的一阶条件为，
\[\frac{\partial V(k_t,\lambda_t)}{\partial k_{t+1}}=0=-\frac{1}{\lambda_tk_t^\theta h_t^{1-\theta}+(1-\delta)k_t-k_{t+1}}+\beta E_t[V_k(k_{t+1},\lambda_{t+1})|\lambda_t]\]	
\[\frac{\partial V(k_t,\lambda_t)}{\partial h_{t}}=0=(1-\theta)\frac{1}{\lambda_tk_t^\theta h_t^{1-\theta}+(1-\delta)k_t-k_{t+1}}(\lambda_tk_t^\theta h_t^{-\theta})-A\frac{1}{1-h_t}\]

而包络定理告诉我们，
\[
\frac{\partial V(k_t,\lambda_t)}{\partial k_{t}}=\frac{1}{\lambda_tk_t^\theta h_t^{1-\theta}+(1-\delta)k_t-k_{t+1}}[\theta \lambda_tk_t^{\theta-1} h_t^{1-\theta}+(1-\delta)]
\]
将包络定理代入，一阶条件可以重新书写为，
\begin{equation}\label{eq7}
\frac{1}{\lambda_tk_t^\theta h_t^{1-\theta}+(1-\delta)k_t-k_{t+1}}=\beta E\left[ \frac{\theta \lambda_{t+1}k_{t+1}^{\theta-1} h_{t+1}^{1-\theta}+(1-\delta)}{\lambda_{t+1}k_{t+1}^\theta h_{t+1}^{1-\theta}+(1-\delta)k_{t+1}-k_{t+2}}\left| \lambda_t\right. \right]
\end{equation}

\begin{equation}\label{eq8}
(1-\theta)(1-h_t)(\lambda_t k_t^\theta h_t^{-\theta})=A[\lambda_t k_t^\theta h_t^{1-\theta}+(1-\delta)k_t-k_{t+1}]
\end{equation}
对于可行性约束，有，
\[c_t=\lambda_t k_t^\theta h_t^{1-\theta}+(1-\delta)k_t-k_{t+1}\]
而对于竞争性市场，要素报酬等于其要素边际产品，即，
\[r_t=\theta \lambda_t k_t^{\theta-1} h_t^{1-\theta},\quad w_t=(1-\theta)\lambda_tk_t^\theta h_t^{-\theta}\]
这样，\eqref{eq7}式和\eqref{eq8}式就可以得到一个较为简单的形式，
\[\frac{1}{c_t}=\beta E_t\left [ \frac{r_{t+1}+(1-\delta)}{c_{t+1}}|\lambda_t\right ]\]
\[(1-h_t)w_t=Ac_t\]
令$\bar k=k_t=k_{t+1}=k_{t+2} $，$\bar h=h_t=h_{t+1} $，且稳态时，期望值等于实现值，这样就可以得到稳态的$\bar k $和$\bar h $，
\begin{equation}\label{eq9}
\bar h=\frac{1}{1+\frac{A}{1-\theta}\left[1-\frac{\beta\delta\theta}{1-\beta(1-\delta)} \right]}
\end{equation}
\begin{equation}\label{eq10}
\bar k=\bar h\left[ \frac{\theta \bar \lambda}{\frac{1}{\beta}-(1-\delta)}\right]
\end{equation}
如果把模型写成总量形式（依据福利经济学第二定理），一阶条件\eqref{eq7}和\eqref{eq8}式可以写为，
\[1=\beta E_t\left [ \frac{C_{t}}{C_{t+1}}(r_{t+1}(1-\delta))\right ]\]
\[(1-H_t)(1-\theta)\frac{Y_t}{H_t}=AC_t\]

预算约束为(不包含存量控制那个约束了)，
\[C_t=Y_t+(1-\delta )K_t-K_{t+1}\]

产品市场上两个约束为，
\[Y_t=\lambda_tK_t^\theta H_t^{1-\theta}\]
\[r_t=\theta \frac{Y_t}{K_t}\]

实际上，我们十分关心稳态之外的方程运动方式。本来第5章的方法也可以用，无非就是不断迭代，算出值函数及政策函数。但问题在于，如果随机变量的维数迅速增大，这种迭代值函数的办法会变得无法负担，我们需要一些线性化的方法。一种就是下一小节要阐述的对数线性化，另一种就是下章要阐述的二次规划。

\subsection{ 对数线性化方法}
\subsubsection{对数线性化基础}
该方法分两步，第一步是对函数取对数，第二步就是对对数化后的式子一阶泰勒展开。
本小节内容简单，且今后使用较少。重点看看Uhig的对数线性化方法。
\subsubsection{Uhlig的对数线性化方法}
如果定义
\[\widetilde X_t=lnX_t-ln\overline X\]

就有
\[X_t=\overline Xe^{\widetilde X_t} \]

于是(一阶泰勒展开得到，p61)，
\begin{align*}
e^{\widetilde X_t+a\widetilde Y_t}&\approx 1+\widetilde X_t+a\widetilde Y_t\\
\widetilde X_t\widetilde Y_t&\approx 0\hspace{2em}\text{高阶的消去而已}\\
E_t[ae^{\widetilde X_{t+1}}]&\approx a+aE_t(\widetilde X_{t+1})	\hspace{2em}\text{第一个法则在期望里面展开而已}\\
\end{align*}

第一个法则是经常使用的。

\subsection{Hansen模型的对数线性形式}
之所以要对数线性化，是得到稳态之后，想知道稳态之外的运动形式。稳态是提前已经求出了的。那么对于Hansen模型，其一阶条件以及相关预算约束共5个方程可以重新书写如下，
\begin{align*}
&1=\beta E_t\left [ \frac{C_{t}}{C_{t+1}}(r_{t+1}+(1-\delta))\right ]\\
&(1-H_t)(1-\theta)\frac{Y_t}{H_t}= AC_t\\
&C_t=Y_t+(1-\delta )K_t- K_{t+1}\\
&Y_t=\lambda_tK_t^\theta H_t^{1-\theta}\\
&r_t=\theta \frac{Y_t}{K_t}
\end{align*}

现在使用对数线性化方法，首先进行$X_t=\overline Xe^{\widetilde X_t} $ 变换，然后进行$e^{\widetilde X_t+a\widetilde Y_t}\approx 1+\widetilde X_t+a\widetilde Y_t $变换。那么上述5个方程经过变化后，分别为，
\begin{align*}
&0\approx \widetilde C_t-E_t\widetilde C_{t+1}+\beta \overline r E_t\widetilde r_{t+1}\\
&0\approx \widetilde Y_t-\frac{\widetilde H_t}{1-\overline H}-\widetilde C_t\\
&0\approx \overline Y\widetilde Y_t-\overline C\widetilde C_t+\overline K[(1-\delta)\widetilde K_t-\widetilde K_{t+1}]\\
&0\approx \widetilde \lambda_t+\theta \widetilde K_t+(1-\theta)\widetilde H_t-\widetilde Y_t\\
&0\approx \widetilde Y_t-\widetilde K_t-\widetilde r_t
\end{align*}

随机过程$\lambda_{t+1}=\gamma \lambda_t +\varepsilon_{t+1} $，也可以对数线性化后，为
\[
\widetilde \lambda_{t+1}=\gamma \widetilde \lambda_t +\mu_{t+1}
\]
其中，$\bar \lambda=1,\mu_{t+1}=\varepsilon_{t+1}-(1-\gamma) $。
对数线性化后的方程组作为一个线性模型，就可以用矩阵来表达，如果把t期所有内生变量定义成一个向量形式，
\[x_t=[\widetilde K_{t+1}\quad \widetilde Y_t\quad \widetilde C_t\quad \widetilde H_t\quad \widetilde r_t]'\]
之所以是$\widetilde K_{t+1} $而不是$\widetilde K_t $，是因为$\widetilde K_t $ 是一个参数，对于$t$期而言是外生的而不是内生的变量了，这可以从值函数的表达上看出来。另一个外生的随机变量，
\[z_t=\widetilde \lambda_t\]
这样，Hansen模型的五个方程就可以用矩阵表达，
\[0=E_t[Fx_{t+1}+Gx_t+Hx_{t-1}+Lz_{t+1}+Mz_t]\]
其中，
\[F=
\begin{bmatrix}
0 & 0 & -1 & 0 & \beta \bar r\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
\end{bmatrix} ,
G=
\begin{bmatrix}
0 & 0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 1 & -1 & -\frac{1}{1-\bar H} & 0\\
-\bar K & \bar Y & -\bar C & 0 & 0\\
0 & -1 & 0 & 1-\theta & 0\\
0 & 1 & 0 & 0 & -1\\
\end{bmatrix}
\]
\[
H=
\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
\bar K(1-\delta) & 0 & 0 & 0 & 0\\
\theta & 0 & 0 & 0 & 0\\
-1 & 0 & 0 & 0 & 0\\
\end{bmatrix},L=[0 \quad 0 \quad 0 \quad 0 \quad 0],\\M=[0 \quad 0 \quad 0 \quad 1 \quad 0]'\]

随机过程可以写为，
\[z_{t+1}=Nz_t+\mu_{t+1}\]
其中$E_t(\mu_{t+1})=0 $，$N=[\gamma] $。要求解上述模型，无非就是要得到如下均衡运动方程，
\[x_t=Px_{t-1}+Qz_t\]

Uglig(1999)定理一表明，如果该方程的解存在，那么矩阵$P$可以通过解如下矩阵二次方程而得到，
\[0=FP^2+GP+H\]

而$Q$由$Vvec(Q)=-vec(LN+M) $给出，其中$V=N'\otimes F+I_k\otimes(FP+G) $，这里，$I_k $是一个$k$ 维的单位向量，$k$的取值等于随机变量的个数（即$z_t $的维数）。

为什么呢？可将$x_t=Px_{t-1}+Qz_t $代入$0=E_t[Fx_{t+1}+Gx_t+Hx_{t-1}+Lz_{t+1}+Mz_t] $，然后整理可得，
\[0=(FP^2+GP+H)x_{t-1}+(FPQ+FQN+GQ+LN+M)z_t\]

由于该方程要求对于$x_{t-1} $和$z_t $的任何值都成立，所以括号内的项必须为0。解二次矩阵方程的根是复杂的。我们也许需要另外一种特殊的解法。

\subsubsection{运用跳跃变量的解法}
该解法的特殊性在于通过选择某一个变量为内生变量$x_t $，再将其他所有变量放入一个新的向量$y_t $中。这样做的好处是使得矩阵$P$成为了一个元素。

在上面例子中，可以选择
\[x_t=[\tilde K_{t+1}]\]

然后，
\[y_t=[\tilde Y_t\quad \tilde C_t\quad \tilde H_t\quad \tilde r_t]\]

然后将方程组按是否有期望项分组，模型的线性形式就可以写成，
\begin{align*}
& 0=Ax_t+Bx_{t-1}+Cy_t+Dz_t\\
& 0=E_t(Fx_{t+1}+Gx_t+Gx_{t-1}+Jy_{t+1}+Ky_t+Ly_t+Mz_t)\\
& z_{t+1}=Nz_t+\varepsilon_{t+1}\quad E_t(\varepsilon_{t+1}=0)
\end{align*}

具体到我们的模型，有，

\begin{align*}
& A=[0 \quad -\bar K \quad 0 \quad 0]',\\
& B=[0 \quad (1-\delta)\bar K \quad \theta \quad -1]'\\
& D=[0 \quad 0 \quad 1 \quad 0]'\\
& F=[0],G=[0],H=[0]\\
& J=[0 \quad -1 \quad 0 \quad \beta\bar r]\\
& K=[0 \quad 1 \quad 0 \quad 0 ]\\
& L=[0],M=[0],N=[\gamma]
\end{align*}

\[C=
\begin{bmatrix}
1 & -1 & -\frac{1}{1-\bar H} & 0 \\
\bar Y & -\bar C & 0 & 0\\
-1 & 0 & 1-\theta & 0 \\
1 & 0 & 0 & -1\\
\end{bmatrix}\]
该模型其解应为如下形式，
\begin{align*}
& x_t=Px_{t-1}+Qz_t\\
& y_t=Rx_{t-1}+Sz_t
\end{align*}

Uglig(1999)表明如果解存在，必有，
\begin{align*}
0 &=(F-JC^{-1}A)P^2-(JC^{-1}B-G+KC^{-1}A)P-KC^{-1}B+H\\
R & =-C^{-1}(AP+B)
\end{align*}

同时$Q$和$S$满足，
\begin{align*}
 [N'\otimes(F-JC^{-1}A)+I_k\otimes(JR+FP+G-KC^{-1}A)]vec(Q)&=vec[(JC^{-1}D-L)N+KC^{-1}D-M]\\
 S&=-C^{-1}(AQ+D)
\end{align*}
其中$I_k $是单位阵，矩阵$Q$有$k$列。

\subsubsection{对数线性模型的校准}
有些参数，其经济含义十分明确，如$\theta $是国民收入中资本收入的占比，有些参数如$\beta,\delta $有一些被普遍接受的值，剩下的一些参数如$A,\gamma,\mu_{t+1} $等需要一些规则来确定。这些变量的选择应该使得模型中其他相关变量由此得到的推算值近似于实际数据中的观测值。譬如$A$的取值应该使得劳动时间占总时间的1/3，而$\gamma,\mu_{t+1} $应该使得$y_t $的方差和协方差与现实数据相匹配。

Hansen模型根据季度数据来校准，通过选择$\beta=0.99,\delta=0.025,\theta=0.36 $，而前面\eqref{eq9}式给出了$\overline H $的稳态，
\[\bar H=\frac{1}{1+\frac{A}{1-\theta}\left[1-\frac{\beta\delta\theta}{1-\beta(1-\delta)} \right]}\]

为了使得$ \overline{H} $为1/3，$A$的取值为2是合适的。实际上，我们取了$A=1.72$，此时$\overline H=0.3335 $。

为了获得$\gamma $，可从生产函数的实际数据估计得出，即
\[ln\lambda_t=lnY_t-\theta lnK_t-(1-\theta)H_t\]

得到$\{\lambda_t\} $序列一阶滞后自相关系数约为0.95，故$\gamma=0.95 $ 。

确定$\mu_{t+1} $的分布比较复杂，一般地，该分布方差应该使得模型模拟的产出方差与观察数据十分接近。要确定这一过程，只有得到了运动方程才能进行。

\eqref{eq10}式给出了稳态$\overline K $的表达，
\[\overline K=\overline H\left[ \frac{\theta \overline \lambda}{\frac{1}{\beta}-(1-\delta)}\right]\]

由于$A=1.72$，$\overline H=0.3335 $，从而$\overline K=12.6695 $，于是根据$\overline Y=\overline K^{\theta}\overline H^{1-\theta}=1.2353 $，而预算约束又表明$\bar C=\overline Y-\delta \overline K=0.9186 $，而$\frac{1}{\beta}=\overline r+(1-\delta)=\theta \frac{\overline Y}{\bar K}+(1-\delta) $，可得到$\overline r=0.0351 $。将这些值代入前面矩阵$ A\sim N$，可以得到一个关于$P$的二次方程，
\[0=7.0734\cdot P^2-14.2376\cdot P+7.1448\]

解之可知$P=0.9537$可以使系统稳定均衡。得到了$P$，就很容易求出$Q,R$和$S$。于是可以得到在稳态附近的五个运动方程，
\begin{align*}
\widetilde K_{t+1} & =0.9537\widetilde K_t+0.1132\widetilde \lambda_t\\
\widetilde Y_{t} & =0.2045\widetilde K_t+1.4523\widetilde \lambda_t\\
\widetilde C_{t} & =0.5691\widetilde K_t+0.3920\widetilde \lambda_t\\
\widetilde H_{t} & =-0.2430\widetilde K_t+0.7067\widetilde \lambda_t\\
\widetilde r_{t} & =-0.7955\widetilde K_t+1.4523\widetilde \lambda_t
\end{align*}
\subsubsection{模型中变量的方差}
数据中产出的标准差为1.76\%，而模型中的变量$\widetilde Y_t=lnY_t-ln\overline Y $，可知$\widetilde Y_t $的标准差也为1.76\%。

现在可以使用2个运动方程，从$ \widetilde Y_t $的方差出发来解决$ u_{t+1} $的概率分布问题。
\begin{align}
 \widetilde{K}_{t+1}=a\widetilde{K_t}+b\widetilde{\lambda_t} \label{abc_eq11}\\ 
 \widetilde{Y_{t}}=c\widetilde{K_t}+d\widetilde{\lambda_t} \label{abc_eq12}
\end{align}
再加一个技术的随机过程：
\[ \widetilde{\lambda_{t}}=\gamma\widetilde{\lambda}_{t-1}+\varepsilon_t  \]

具体运算如下：
\begin{enumerate}
	\item 将随机过程代入资本运动方程，
	\[ \widetilde{K}_{t+1}=a\widetilde{K}_t+b\gamma \widetilde{\lambda}_{t-1}+b\varepsilon_t \]
	\item 对上式进行无限递归代入，得，
	\[ \widetilde{K}_{t+1}=b\sum_{i=0}^{\infty}\sum_{j=0}^{i}a^j\gamma^{i-j}\varepsilon_{t-i} \quad\text{技术水平也能无限递归，}\widetilde{\lambda_t}=\sum_{i=0}^{\infty} \gamma^i\varepsilon_{t-i}\]
	\item 将上两式代入产出方程\eqref{abc_eq12}式，得，
	\[ \widetilde{Y}_t=(d^2+\sum_{i=0}^{\infty} [cb\sum_{j=0}^i a^j\gamma^{i-j}+d\gamma^{i+1}]^2)Var\varepsilon_t \]
	括号中的项是收敛的，因此可以得到任何想要的精度。
	\item 当得到了$\varepsilon_t$的方差后，可以观察到\eqref{abc_eq12}式与消费、工作时间或者资本租金的运动方程是类似的，那么就可以通过使用他们的运动方程(即不同的$c,d$)与\eqref{abc_eq11}式类似地联合，来得到消费、工作时间或者资本租金的方差。
\end{enumerate}

\subsection{含有不可分劳动的 Hansen 模型}
考虑$ t $期居民以$ \alpha_t $的概率向厂商提供$ h_0 $单位的劳动，从而厂商的劳动力需求为$ h_t=\alpha h_0 $，居民在$ t $期是否工作随机决定。于是，时期$ t $的期望效用为，
\[ u(c_t,\alpha_t)=\ln c_t+\frac{h_t}{h_0}\cdot A\ln (1-h_0)+(1-\frac{h_t}{h_0})\cdot A\ln 1 \]

因为$ \ln 1=0 $，再进一步定义$ B=\frac{A\ln(1-h_0)}{h_0} $,则上式可以进一步简化为，
\begin{align*}
 u(c_t,\alpha_t)&=\ln c_t+\frac{h_t}{h_0}\cdot A\ln (1-h_0)\\
 & = \ln c_t+Bh_t
\end{align*}
那么，最大化问题为，
\begin{align*}
\max&\sum_{t=0}^{\infty}\beta^t[\ln c_t+Bh_t]\\
s.t. \quad& c_t+i_t=w_th_t+r_tk_t\\
& k_{t+1}=(1-\delta)k_t+i_t\\
& \ln\lambda_{t+1}=\gamma\ln\lambda_t+\varepsilon_{t+1}
\end{align*}

从社会计划者的角度来看(这样可以把厂商的一些条件考虑进来)，其最大化问题为(解与上述竞争均衡解一致)，
\begin{align*}
\max&\sum_{t=0}^{\infty}\beta^t[\ln c_t+Bh_t]\\
s.t. \quad& \lambda_tk_t^{\theta}h_t^{1-\theta}=c_t+k_{t+1}-(1-\delta)k_t\\
& \ln\lambda_{t+1}=\gamma\ln\lambda_t+\varepsilon_{t+1}
\end{align*}


\textbf{以Bellman方程的形式写为}，
\begin{align*}
 V(k_t\lambda_t)=& \max_{c_t,h_t} [\ln c_t+Bh_t+\beta E_tV(k_{t+1},\lambda_{t+1})] \\
s.t. \quad& \lambda_tk_t^{\theta}h_t^{1-\theta}=c_t+k_{t+1}-(1-\delta)k_t\\
& \ln\lambda_{t+1}=\gamma\ln\lambda_t+\varepsilon_{t+1}
\end{align*}

为方便求解，将控制变量更换为$ k_{t+1},h_t $,并进行代入，可以得到Bellman方程的另一种表达，
\[ V(k_t\lambda_t)=\max_{c_t,h_t} [\ln (\lambda_tk_t^{\theta}h_t^{1-\theta}-k_{t+1}+(1-\delta)k_t)+Bh_t+\beta E_tV(k_{t+1},\lambda_{t+1})] \]

上式的一阶条件中$ \lambda_tk_t^{\theta}h_t^{1-\theta}-k_{t+1}+(1-\delta)k_t $部分用$ c_t $替代，则有，
\begin{align*}
0&=\frac{1}{c_t}[(1-\theta)\lambda_tk_t^{\theta}h_t^{-\theta}]+B\\
0&= -\frac{1}{c_t}+E_t\left[ \frac{1}{c_{t+1}}\theta\lambda_{t+1}^{\theta-1}h_t^{1-\theta}+(1-\delta) \right]
\end{align*}

由于家庭完全同质，则可用大写字母替换小写字母作为一种总量替换，于是一阶条件为，
\begin{align*}
C_t&=-\frac{(1-\theta)Y_t}{BH_t}\\
1&=\beta E_t\left[\frac{C_t}{C_{t+1}}(r_{t+1}+(1-\delta))\right]
\end{align*}

为封闭模型，再加上流量预算约束、生产函数和两个要素市场条件\footnote{关于工资的要素条件由于零利润条件使得可以用$ Y_t $替换$ w_tH_t+r_tK_t $，因此，关于工资的方程也成为冗余。}，
\begin{align*}
C_t+K_{t+1}&=Y_t+(1-\delta)K_t\\
r_t&=\theta \lambda_tK_t^{\theta-1}H_t^{1-\theta}\\
Y_t&=\lambda_tK_t^{\theta}H_t^{1-\theta}
\end{align*}

\subsubsection{稳态}
稳态即要求$ \overline{X}=X_t=X_{t+1}$,技术的稳态$\bar \lambda=1 $,于是关于一阶条件和各约束就简化为，
\begin{align*}
\frac{1}{\beta}&=\bar r+(1-\delta)\\
\overline{C}&=-\frac{(1-\theta)\overline{Y}}{B\overline{H}}\\
\bar r&=\theta \overline{K}^{\theta-1}\overline{H}^{1-\theta}\\
\overline{Y}&=\overline{K}^{\theta}\overline{H}^{1-\theta}\\
\overline{C}&=\overline{Y}-\delta\overline{K}
\end{align*}
\subsubsection{对数线性化}
对一阶条件和各约束对数线性化，可得到，
\begin{align*}
0&\approx \widetilde{C}_t-E_t\widetilde{C}_{t+1}+\beta \bar r E_t\widetilde{r}_{t+1}\\
0&\approx \widetilde{C}_t+\widetilde{H}_t-\widetilde{Y}_t\\
0&\approx \overline{Y}\widetilde{Y_t}-\overline{C}\widetilde{C}_t+(1-\delta\overline{K}\widetilde{K}_t)-\overline{K}\widetilde{K}_{t+1}\\
0&\approx \widetilde{Y}_t-\widetilde{\lambda}_t-\theta \widetilde{K}_t-(1-\theta)\widetilde{H}_t\\
0&\approx \widetilde{Y}_t-\widetilde{K}_t-\widetilde{r}_t
\end{align*}

在仅有一个条件包含期望的情况下，就可以将上述模型写成如下形式，
\begin{align*}
&0=Ax_t+Bx_{t+1}+Cy_t+Dz_t\\
&0=E_t(Fx_{t+1}+Gx_t+Hx_{t-1}+Jy_{t+1}+Ky_{t}+Lz_{t+1}+Mz_t)\\
&z_{t+1}=Nz_t+\varepsilon_{t+1}\qquad E_t(\varepsilon_{t+1})=0
\end{align*}

其中，各变量
\[x_t=[\widetilde{K}_{t+1}],\quad
y_t=\begin{bmatrix}
\widetilde{Y}_t\\\widetilde{C}_t\\\widetilde{H}_t\\\widetilde{r}_t
\end{bmatrix},\quad
z_t=[\widetilde{\lambda}_t]\]

各系数，
\[A=\begin{bmatrix}
0\\-\overline{K}\\0\\0
\end{bmatrix},
B=\begin{bmatrix}
0\\ \overline{K}(1-\delta)\\ \theta\\-1
\end{bmatrix},
C=\begin{bmatrix}
1 & -1 & -1&0\\
\overline{Y}& -\overline{C}& 0& 0\\
-1& 0& 1-\theta&0\\
1& 0& 0&-1
\end{bmatrix},
D=\begin{bmatrix}
0\\0\\1\\0
\end{bmatrix},
J=\begin{bmatrix}
0\\-1\\0\\ \beta \bar r
\end{bmatrix},
K=\begin{bmatrix}
0\\1\\0\\0
\end{bmatrix}\]
\[F=[0],G=[0],H=[0],L=[0],M=[0],N=[\gamma]\]

该问题的解是一个矩阵集$ P,Q,R,S $，
\begin{align*}
x_t=Px_{t-1}+Qz_t\\y_t=Rx_{t-1}+Sz_t
\end{align*}

与上一节类似的方法可以得到这些矩阵，从而，
\begin{align*}
\widetilde{K}_t=0.9418\widetilde{K}_{t-1}+0.1552\lambda_t\\
y_t=R\widetilde{K}_{t-1}+S\lambda_t
\end{align*}
其中，
\[R=
\begin{bmatrix}
0.0550\\0.5316\\-0.4766\\-0.9450
\end{bmatrix},
S=\begin{bmatrix}
1.9418\\0.4703\\1.4715\\1.9417
\end{bmatrix}
\]
\subsection{脉冲响应函数}

\section{线性二次动态规划}
我们想将目标函数近似成二次的，其一阶导数就是一个一次项，有利于动态的刻画。具体地，对于$ n\times 1 $的状态变量$ x_t $，$ m\times 1 $的控制变量$ y_t $，我们希望找到这样的贴现二次目标函数，
\[ \sum_{t=0}^{\infty} \beta^t (x'_tRx_t+y'_tQy_t+2y'_tWx_t) \]

受约束于，
\[ x_{t+1}=Ax_t+By_t \]

其中，$ R,A $均为$ n\times n $阶，$ Q $是$ m\times m $阶，$ W $是$ m\times n $阶，$ B $是$ n\times m $阶。这种建模方式要求：
\begin{itemize}
	\item 预算约束是线性的；
	\item 目标函数必须是二次的；
\end{itemize}

\subsection{Kydland and Prescott的解法}\label{chp7}
模型的一般形式可以写为，
\begin{align*}
\sum_{t=0}^{\infty}& \beta^tF(x_t,y_t)\\
s.t.\quad & x_{t+1}=G(x_t,y_t)=Ax_t+By_t
\end{align*}

假设预算约束$ G $为线性(如果非线性则将其代入目标函数，使得为线性)。

于是$ F(x_t,y_t) $的二阶泰勒展开为，
\begin{align}
F(x_t,y_t)\approx & F(\bar x,\bar y)+[F_x(\bar x,\bar y)'\quad F_y(\bar x,\bar y)']
\begin{bmatrix}
x_t-\bar x\\
y_t-\bar y
\end{bmatrix}\nonumber \\
& + [(x_t-\bar x)'\quad(y_t-\bar y)']
\begin{bmatrix}
\frac{F_{xx}(\bar x,\bar y)}{2} & \frac{F_{xy}(\bar x,\bar y)}{2}\\
\frac{F_{yx}(\bar x,\bar y)}{2} & \frac{F_{yy}(\bar x,\bar y)}{2}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x_t-\bar x\\
y_t-\bar y
\end{bmatrix}\label{eq13}
\end{align}

为将上式写成二次项的形式，可以进一步改写符号，定义，
\[z_t=\begin{bmatrix}
	1\\x_t\\y_t
\end{bmatrix},\text{稳态时，}\bar z=\begin{bmatrix}
1\\ \bar x\\ \bar y
\end{bmatrix}\]

由于$ x_t,y_t $分别是$ k $维和$ l $维，于是$ z_t $就是$ 1+k+l $维，那么可以构造一个如下矩阵，
\[M=\begin{bmatrix}
	m_{11} & m_{12} & m_{13}\\
	m_{21} & m_{22} & m_{23}\\
	m_{31} & m_{32} & m_{33}
\end{bmatrix}\]

其中，$ m_{11} $是$ 1\times 1 $，$ m_{22} $是$ k\times k $，$ m_{33} $是$ l\times l $，其余矩阵在相应位置使得$ M $恰好为方阵。这样的设置就使得，
\[ z'_tMz_t=m_{11}+(m_{12}+m'_{21})x_t+(m_{13}+m'_{31})y_t+x'_tm_{22}x_t+x'_t(m_{23}+m'_{32})y_t+y'_tm_{33}y_t \]

将上式与\eqref{eq13}式比对，可知$ m_{11} $包含的是常数项，$ m_{12}=m'_{21},m_{13}=m'_{31} $包含的是一次项系数，$ m_{22},m_{33},m_{23}=m'_{32} $是二次项系数，$ M $是一个对称矩阵，
\begin{align*}
m_{11}=F(\bar x,\bar y)-\bar x'F_x(\bar x,\bar y)-\bar y'F_y(\bar x,\bar y)+\frac{\bar x'F_{xx}(\bar x,\bar y)\bar x}{2}+\bar x'F_{xy}(\bar x,\bar y)\bar y+\frac{\bar y'F_{yy}(\bar x,\bar y)\bar y}{2}
\end{align*}
\begin{align*}
m_{12}&=m'_{21}=\frac{F_x(\bar x,\bar y)'-\bar x'F_{xx}(\bar x,\bar y)-\bar y'F_{yx}(\bar x,\bar y)}{2}\\
	m_{13}&=m'_{31}=\frac{F_y(\bar x,\bar y)'-\bar x'F_{xy}(\bar x,\bar y)-\bar y'F_{yy}(\bar x,\bar y)}{2}
\end{align*}
\begin{align*}
m_{22}&= \frac{F_{xx}(\bar x,\bar y)}{2}\\
m_{23}&=m'_{32}= \frac{F_{xy}(\bar x,\bar y)}{2}\\
m_{33}&= \frac{F_{yy}(\bar x,\bar y)}{2}\\
\end{align*}

至此，我们就得到了一个一般化的二次贴现的动态规划问题，
\begin{align*}
&\sum_{t=0}^{\infty} \beta^tz'_tMz_t\\
s.t. \quad & \begin{bmatrix}
1\\x_{t+1}
\end{bmatrix}
=A\begin{bmatrix}
1\\ x_t
\end{bmatrix}
+By_t
\end{align*}

其中，$z'_t=[1\quad x_t\quad y_t]$。
\subsubsection{解Bellman方程}
上述目标函数的二次型可以具体为，
\begin{align}
z'_tMz_t&=[x'_t\quad y'_t]\begin{bmatrix}
R & W'\\
W & Q
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x_t\\y_t
\end{bmatrix}\nonumber\\
&= x'_tRx_t+y'_tQy_t+2y'_tWx_t\label{abc_eq14}
\end{align}

注意，此处$x_t $第一个元素为1。该模型的值函数可以表达为$ x'_tPx_t $，其中$ P $待定。如果$ P $存在，那么Bellman方程为，
\[ x'_tPx_t=\max_{y_t} (z'_tMz_t+\beta x'_{t+1}Px_{t+1}) \]

服从约束，
\[ x_{t+1}=Ax_t+By_t \]

由于$ x_t $第一个元素为1，因此，$A$第一行第一个的元素为1，该行其他元素为0。$ B $第一行全部元素为0。\textbf{将\eqref{abc_eq14}式代入Bellman方程，可得}，
\[ x'_tPx_t=\max_{y_t}[x'_tRx_t+y'_tQy_t+2y'_tWx_t+\beta(Ax_t+By_t)'P(Ax_t+By_t)] \]

其一阶条件为，
\begin{equation}\label{eq17}
(Q+\beta B'PB)y_t=-(W+\beta B'PA)x_t
\end{equation}


于是，政策函数为，
\[ y_t=Fx_t=-(Q+\beta B'PB)^{-1}(W+\beta B'PA)x_t \]

不过矩阵$ P $仍然待定，此时将政策函数代入Bellman方程以消掉$ y_t $，再经过大量的矩阵运算，就可以得到，
\[ P=R+\beta A'PA-(\beta A'PB+W')(Q+\beta B'PB)^{-1}(\beta B'PA+W) \]

然后通过给$ P $赋一个初值如$ P_0=I $，就可以不断迭代以得到收敛的序列$ \{P_k\} $，
\begin{equation}\label{eq15}
P_{k+1}=R+\beta A'P_kA-(\beta A'P_kB+W')(Q+\beta B'P_kB)^{-1}(\beta B'P_kA+W)
\end{equation}

\subsubsection{校准}
在参数$ \beta=0.99,\delta=0.025,\theta=0.36,A=1.72 $时，其稳态为$ \bar h=0.3335,\bar k=12.6695,\bar y=1.2353,\bar c=0.9186 $，于是，各矩阵如下，
\[a=
\begin{bmatrix}
-0.6056 & 0.5986 & -1.3823\\
0.5968 & -0.5926 & 1.4048\\
-1.3823 & 1.4048 & -6.6590
\end{bmatrix},M=\begin{bmatrix}
-1.6374 & 1.0996 & -1.0886 & 1.9361\\
1.0996 & -0.6056 & 0.5986 & -1.3823\\
-1.0886 & 0.5986 & -0.5926 & -1.4048\\
1.9361 & -1.3823 & 1.4048 & -6.6590
\end{bmatrix}  \]

由$ M=\left [\begin{smallmatrix}
R & W'\\W & Q
\end{smallmatrix}\right ] $，就可以得到矩阵$R,Q,W$，此时，就可以将单位阵$ P_0=\left[\begin{smallmatrix}
1 & 0\\0 &1
\end{smallmatrix}\right] $在式\eqref{eq15}中经历200次迭代就会逐渐稳定下来，得到，
\[ P_1=\begin{bmatrix}
-0.7515 & 0.9987\\0.9987 & -0.4545
\end{bmatrix},P_2=\begin{bmatrix}
-1.6909 & 0.8247\\ 0.8247 & -0.1924
\end{bmatrix},\cdots, P_{200}=\begin{bmatrix}
-96.3615 & 0.8779\\ 0.8779 & -0.0259
\end{bmatrix}\]


利用$ P $就可以得到政策函数，
\[ F=\begin{bmatrix}
0.5869 & 0.9537\\ 0.4146 & -0.0064
\end{bmatrix} \]

实际上，此时我们也可以验算一下$ F $算得对不对，因为知道$ \left[\begin{smallmatrix}
k_{t+1}\\h_t
\end{smallmatrix} \right]=F\left[\begin{smallmatrix}
1\\k_t
\end{smallmatrix} \right] $，该式子所有变量此时都是已知的，验证其是否大约相等即可。

\subsection{加入随机冲击}
此时，要注意：把非线性预算约束放在目标函数$F(x_t,y_t)$中，把随机项放入线性预算约束中，即冲击表现为，
\[ x_{t+1}=Ax_t+By_t+C\varepsilon_{t+1} \]

其中，$ \varepsilon_t $是一个独立同分布的随机变量，$E_t(\varepsilon_{t+1})=0,Var(\varepsilon)=\Sigma$，$ C $是$ m\times n $阶，$ m $是状态变量个数，$ n $是$ \varepsilon_{t+1} $的长度。这样，代表性行为人目标函数最大贴现期望值为，
\[ \max_{y_t}E_0\sum_{t=0}^{\infty}\beta^tF(x_t,y_t) \]

为得到均衡点附近的动态演化，就要要找到目标函数的二次近似，在稳态$ (\bar x,\bar y) $的邻域内为：
\[ F(x_t,y_t)=F(z_t)\approx z'_tMz_t=[1\quad x'_t]R\begin{bmatrix}
1\\x_t
\end{bmatrix}+y'_tQy_t+2y'_tW\begin{bmatrix}
1\\x_t
\end{bmatrix} \]

于是模型就可以重新书写为,
\begin{align*}
\max \quad & E_0\sum_{t=0}^{\infty}\beta^tz'_tMz_t\\
s.t.\quad& x_{t+1}=Ax_t+By_t+C\varepsilon_{t+1}
\end{align*}

此时，定义存在一个矩阵$ P $使得$ x'_tPx_t+c $是该模型的值函数，于是模型就可以写成递归形式(Bellman方程形式)，
\begin{align*}
x'_tPx_t+c & =\max_{y_t} [z'_tMz_t+\beta E_0(x'_{t+1}Px_{t+1}+c)]\\
s.t.\quad& x_{t+1}=Ax_t+By_t+C\varepsilon_{t+1}
\end{align*}

将预算约束代入Bellman方程期望项中，可得，
\begin{equation}\label{eq16}
 x'_tPx_t+c=\max_{y_t}[z'_tMz_t+\beta x'_tA'PAx_t+2x'_tA'PBy_t+\beta y'_tB'PBy_t+\beta E_0(\varepsilon'_{t+1}C'PC\varepsilon_{t+1})+\beta c] 
\end{equation}


此时考察上式中的期望项$ E_0(\varepsilon'_{t+1}C'PC\varepsilon_{t+1}) $，如果令方阵$ G=[g_{ik}]=C'PC $，那么就有，
\[E_t(\varepsilon'_{t+1}C'PC\varepsilon_{t+1})=\sum_j\sum_k E_t(\varepsilon_{t+1}^jg_{jk}\varepsilon_{t+1}^k)=\sum_j g_{jj}E_t(\varepsilon_{t+1}^j\varepsilon_{t+1}^j)\]

又对于$ k\ne j $时，恒有$ E_t(\varepsilon_{t+1}^k\varepsilon_{t+1}^j)=0 $,故有，
\[ E_t(\varepsilon'_{t+1}C'PC\varepsilon_{t+1}) = trace (C'PC\Sigma) \]

这是一个常数。将上式代入式\eqref{eq16}中，有，
\[ x'_tPx_t+c=\max_{y_t}[z'_tMz_t+\beta x'_tA'PAx_t+2x'_tA'PBy_t+\beta y'_tB'PBy_t+\beta trace(C'PC\Sigma)]+\beta c  \]

考虑到该方程两边常数项要与常数项相等，就可以得到两个结论，
\begin{align*}
c & =\frac{\beta trace(C'PC\Sigma)}{1-\beta}\\
x_t'Px'_t & =\max_{y_t}(z'_tMz_t+\beta x'_tA'PAx_t+2x'_tA'PBy_t+\beta y'_tB'PBy_t)\\
 & = \max_{y_t}(x'_tRx_t+y'_tQy_t+2y'_tWx_t+\beta x'_tA'PAx_t+2x'_tA'PBy_t+\beta y'_tB'PBy_t)
\end{align*}

该问题一阶条件为，
\[ (Q+\beta B'PB)y_t=-(W+\beta B'PA)x_t \]

可以看到其等价于确定性情况下的一阶条件式\eqref{eq17}。因此，政策函数也是一样的，
\[ y_t=Fx_t= -(Q+\beta B'PB)^{-1}(W+\beta B'PA)x_t\]

当$ k\rightarrow\infty $时，也可以得到一个收敛的$ P_{k+1} $,
\[P_{k+1}=R+\beta A'P_kA-(\beta A'P_kB+W')(Q+\beta B'P_kB)^{-1}(\beta B'P_kA+W)  \]

\textbf{区别于确定性模型，为了模拟随机冲击的时间路径，}理解下式即可，
\[ x_1=Ax_0+By_0+C\varepsilon_1 \]

即有了状态变量$ x_0 $，利用政策函数找到$ y_0 $，然后从相应分布中抽取一组随机变量$ \varepsilon_{1} $，于是就得到了下一期的状态变量，循环往复。

\subsubsection{一个例子}
以第\ref{sec1}章经济体为例，代表性行为人的模型为，
\begin{align*}
\max_{k_{t+1},h_t} & \sum_{0}^{\infty}\beta^t[\ln(\lambda_tk_t^{\theta}h_t^{1-\theta}+(1-\delta)k_t-k_{t+1})+A(1-h_t)]\\
s.t.\quad & k_{t+1}=k_{t+1}\\
& \lambda_{t+1}=(1-\gamma)+\gamma\lambda_t+\varepsilon_{t+1}
\end{align*}

这种随机项建模加入了常数以保证$ \varepsilon_t $的均值为0，方差有界。定义$ z_t=(x'_t\quad y'_t)' $，其中状态变量$ x_t=(1\quad k_t\quad \lambda_t)' $，控制变量为$ y_t=(k_{t+1}\quad h_t)' $。

在这样的定义下，预算约束$ x_{t+1}=Ax_t+By_t+C\varepsilon_{t+1} $就可以具体地写成，
\[\begin{bmatrix}
	1\\ k_{t+1}\\\lambda_{t+1}
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0\\0 & 0& 0\\1-\gamma & 0 & \gamma
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
1\\k_t\\ \lambda_t
\end{bmatrix}+
\begin{bmatrix}
0 & 0\\1 & 0\\0 & 0
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
k_{t+1}\\h_t
\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}
0\\ 0\\ 1
\end{bmatrix}\varepsilon_{t+1}\]

而目标函数(单期)的二阶泰勒展开为，
\begin{align*}
u(\cdot)\approx &  \ln(\bar \lambda\bar k^{\theta}\bar h^{1-\theta}-\delta\bar k)+A\ln(1-\bar h)\\
& + \frac{1}{\bar c}\left[\theta \frac{\bar y}{\bar k}+(1-\delta)\right](k_t-\bar k)+\frac{\bar y}{\bar c}(\lambda_t-\bar \lambda)-\frac{1}{\bar c}(k_{t+1}-\bar k)+\left[(1-\theta)\frac{1}{\bar c}\frac{\bar y}{\bar c}-\frac{A}{1-\bar h}\right](h_t-\bar h)\\
& +[k_t-\bar k\quad \lambda_t-\bar \lambda\quad k_{t+1}-\bar k\quad h_t-\bar h] \begin{bmatrix}
a_{11} & \hat a_{1\lambda} & a_{12} & a_{13}\\
\hat a_{\lambda 1} & \hat a_{\lambda\lambda} & \hat a_{\lambda 2} &\hat  a_{\lambda 3}\\
a_{21} & \hat a_{2\lambda} & a_{22} & a_{23}\\
a_{31} & \hat a_{3\lambda} & a_{32} & a_{33}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
k_t-\bar k\\ \lambda_t-\bar \lambda\\ k_{t+1}-\bar k\\ h_t-\bar h
\end{bmatrix}
\end{align*}

其中，$ a_{ij} $与\ref{chp7}节中的含义相同，下标中包含$ \lambda $表示 $ a_{ij} $是与$ \lambda_t $相关的。另外，此处与\ref{chp7}节中的不同之处在于增加了$ (\lambda_t-\bar \lambda) $项，各$ \hat a_{ij} $为，
\begin{align*}
\hat a_{1\lambda}& = \hat a_{\lambda 1}=-\frac{\bar y}{\bar c^2}\left[\theta\frac{\bar y}{\bar k}+1-\delta\right]+\theta\frac{\bar y}{\bar c\cdot \bar k}\\
\hat a_{\lambda\lambda}&=-\frac{\bar y^2}{\bar c^2}\\
\hat a_{2\lambda}& = \hat a_{\lambda2}= \frac{\bar y}{\bar c^2}\\
\hat a_{3\lambda} &=\hat a_{\lambda 3}=-(1-\theta)\frac{\bar y^2}{\bar c^2\bar h}+(1-\theta)\frac{\bar y}{\bar c\cdot\bar h}
\end{align*}

于是目标函数可以写为二次型，
\begin{align*}
\max_{y_t} & \sum_{t=0}^{\infty}z_t'Mz_t\\
s.t. & \quad x_{t+1}=Ax_t+By_t+C\varepsilon_{t+1}
\end{align*}
其中，$ M $是一个$ 5\times 5 $的矩阵，
\[M=\begin{bmatrix}
m_{11} & m_{12} & m_{13} & m_{14} & m_{15}\\
m_{21} & a_{11} & \hat a_{1\lambda} & a_{12} & a_{13}\\
m_{31} & \hat a_{\lambda 1} & \hat a_{\lambda\lambda} & \hat a_{\lambda 2} &\hat  a_{\lambda 3}\\
m_{41} & a_{21} & \hat a_{2\lambda} & a_{22} & a_{23}\\
m_{51} & a_{31} & \hat a_{3\lambda} & a_{32} & a_{33}
\end{bmatrix}\]

有了$ M $，就有了$ R,Q,W $，再根据约束条件就有了$ A,B,C $。于是，按照\ref{chp7}节同样的参数设置，再增加$ \gamma=0.95 $，根据方程，
\[ P_{k+1}=R+\beta A'P_kA-(\beta A'P_kB+W')(Q+\beta B'P_kB)^{-1}(\beta B'P_kA+W) \]

通过反复迭代，就能得到矩阵$ P $，
\[P= \begin{bmatrix}
-124.0532 & 1.0657 & 15.6762\\
1.0657 & -0.0259 & -0.1878\\
15.6762 & -0.1878 & -1.9963\\
\end{bmatrix} \]

然后使用$ y_t=Fx_t=-(Q+\beta B'PB)^{(-1)}(W+\beta B'PA)x_t $，可以得到政策函数，
\[ F=\begin{bmatrix}
-0.8470 & 0.9537 & 1.4340\\
0.1789 & -0.0064 & 0.2357\\
\end{bmatrix} \]

有了政策函数，就可以得到运动方程，
\[ \begin{bmatrix}
1\\k_{t+1}\\ \lambda_{t+1}
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
1 & 0& 0\\0 & 0& 0\\ 0.05 & 0 & 0.95\\
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
1\\k_t\\ \lambda_t
\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}
0 & 0\\1 & 0\\ 0& 0\\
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
-0.8470 & 0.9537 & 1.4340\\0.1789 & -0.0064 & 0.2357\\
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
1\\k_t\\ \lambda_t\\
\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}
0\\ 0\\ 1\\
\end{bmatrix}\varepsilon_{t+1} \]

化简后，可得，
\[ \begin{bmatrix}
1\\k_{t+1}\\ \lambda_{t+1}
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
1 & 0& 0\\-0.8470 & 0.9537& 1.4340\\ 0.05 & 0 & 0.95\\
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
1\\k_t\\ \lambda_t
\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}
0\\ 0\\ 1\\
\end{bmatrix}\varepsilon_{t+1} \]

上式可以看成，
\[ x_{t+1}=\Psi x_{t}+C\varepsilon_{t+1} \]

那么将右边不断递归代入，就可以得到移动平均表达，
\[ x_{t+1}=\sum_{i=0}^{\infty}\Psi^iC\varepsilon_{t-i}+\Psi^{\infty}x_{-\infty} \]

其中$ \Psi^{\infty} $为$ i\rightarrow\infty $时的极限，那么有，
\[ \Psi^{\infty}=\begin{bmatrix}
1 & 0 &0\\ \bar k& 0 & 0\\\bar \lambda & 0 &0\\
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
1 & 0&0\\12.6695 & 0& 0\\1 & 0& 0\\
\end{bmatrix} \]

注意到由于$ \Psi $的结构，使得任意$ x_{-\infty} $与$ \Psi $相乘都等于$ \bar x $。那么$ x $的协方差矩阵就可以写为，
\begin{align*}
 Var(x)&=E(x_{t+1}-\bar x)(x_{t+1}-\bar x)'  =E[(\sum_{i=0}^{\infty}\Psi^iC\varepsilon_{t-i})(\sum_{i=0}^{\infty}\varepsilon'_{t-i}C'\Psi'^i)]\\
 & = \sum_{i=0}^{\infty}\Psi^iCVar(\varepsilon_{t})C'(\Psi')^i\\
 & = Var(\varepsilon_{t})\sum_{i=0}^{\infty}\Psi^iCC'(\Psi')^i
\end{align*}

根据$ \Psi,C $的定义，就可以得到，
\[ Var(x) =Var\begin{bmatrix}
1\\ k_{t+1}\\ \lambda_{t+1}
\end{bmatrix} =Var(\varepsilon_t)\begin{bmatrix}
0 & 0& 0\\0& 4728.5 & 148.7\\0 & 148.7 & 10.3\\
\end{bmatrix}\] 

于是利用政策函数就可以得到控制变量的方差\footnote{原著似乎漏掉了$ Var(\varepsilon_t) $}，
\[ Var(y)=Var\begin{bmatrix}
k_{t+1}\\h_t
\end{bmatrix}=FVar(x)F'=Var(\varepsilon_t)\begin{bmatrix}
4728.2 & 6.7\\6.7 & 0.3\\
\end{bmatrix} \]

\section{CIA模型}
在第三章做的那些非常一般化的推导是非常有用的。后续的模型都是在它们基础上的变化。如上一章的RBC模型，这儿的CIA模型(Cash in Advance)，就是对效用函数、生产函数的具体化。CIA更多地加入了货币。注意与第三章类似，大写字母表示总量。

每个家庭想最大化贴现后的预期效用函数，
\[ E_0\sum_{t=0}^\infty \beta^tu(c_t^i,h_t^i)=E_0\sum_{t=0}^\infty \beta^t\left\{ \ln c_t^i+\left[A\frac{\ln (1-h_0)}{h_0}\right]h_t^i\right\} \]

厂商有CD总量生产函数，
\[ y_t=\lambda_tK_t^\theta H_t^{1-\theta} \]
其中，
\[ \ln\lambda_{t+1}=\gamma\ln\lambda_t+\varepsilon_{t+1},\hspace{2em}\varepsilon_{t+1}\sim \mathcal{N}(0,\sigma_\varepsilon^2) \]

那么，从厂商的最优化来看，即工资等于劳动的边际生产力，利率等于资本的边际生产力，
\begin{align*}
 w_t=&(1-\theta)\lambda_tK_t^\theta H_t^{-\theta}\\
r_t=&\theta\lambda_tK_t^{\theta-1} H_t^{1-\theta}
\end{align*}
且劳动和资本的总量为，
\[ H_t=\int_{0}^1h_t^idi,\hspace{2em}K_t=\int_{0}^1k_t^idi \]

现在来看CIA约束。家庭将一定量的货币$ m_{t-1^i} $从上期持有至本期，并接受来自政府的转移支付$ (g_t-1)M_{t-1} $，其中$ M_{t-1} $是$ t-1 $期人均货币总量，因全部家庭的总量是1，所以人均货币总量就是总量。$ g_t $是$ t $期的货币增长率。因此，消费的CIA约束为，
\[ p_tc_t^i\le m_{t-1}^i+(g_t-1)M_{t-1} \]

要注意该模型满足条件$ g_t\ge\beta $。同时，家庭还面临流量约束，
\[ c_t^i+k_{t+1}^i+\frac{m_t^i}{p_t}=w_th_t^i+r_tk_t^i+(1-\delta)k_t^i+\frac{m_{t-1}^i+(g_t-1)M_{t-1}}{p_t} \]
该式左边是消费、新持有的资本存量和准备保留至下起的货币实际值存量。右边是工资、利息收入，折旧后的资本以及期初持有的货币量实际值。

当$ g=1 $时，自然是个稳态。当$ g\ne 1 $时，货币存量会随时间而变化，也就不存在$ p_t,m_t^i,M_t $的稳态。有两个办法可以解决该问题，一种是Cooley-Hansen的办法，将每个名义变量标准化，即定义，
\[ \hat{p}_t=\frac{p_t}{M_t},\hspace{2em}\hat{m}_t^i=\frac{m_t^i}{M_t},\hspace{2em}M_t/M_t=1 \]
从而CIA约束和流量约束可以写成，
\begin{align*}
&\frac{p_t}{M_t}c_t^i=\frac{m_{t-1}^i+(g_t-1)M_{t-1}}{M_t}=\frac{m_{t-1}^i+(g_t-1)M_{t-1}}{g_tM_{t-1}} \\
\Longrightarrow & \hat{p}_tc_t^i=\frac{\hat m_{t-1}^i+(g_t-1)}{g_t} \\
& c_t^i+k_{t+1}^i+\frac{\hat m_t^i}{\hat p_t}=w_th_t^i+r_tk_t^i+(1-\delta)k_t^i+\frac{\hat m_{t-1}^i+(g_t-1)}{g_t\hat p_t}
\end{align*}
这么写就可以让名义变量在$ g_t\ne 1 $时也拥有了稳态值。此时，我们重新归纳整个模型如下，
\begin{align*}
\max \hspace{1em} & E_0\sum_{t=0}^\infty \beta^t\left\{ \ln c_t^i+\left[A\frac{\ln (1-h_0)}{h_0}\right]h_t^i\right\}\\
& \text{两个流量约束条件：}\\
s.t.\hspace{1em}&c_t^i=\frac{\hat m_{t-1}^i+(g_t-1)}{ \hat{p}_tg_t} \\
& c_t^i+k_{t+1}^i+\frac{\hat m_t^i}{\hat p_t}=(1-\theta)\lambda_tK_t^\theta H_t^{-\theta}h_t^i+\theta\lambda_tK_t^{\theta-1} H_t^{1-\theta}k_t^i+(1-\delta)k_t^i+\frac{\hat m_{t-1}^i+(g_t-1)}{g_t\hat p_t}\\
&\text{两个外生冲击：}\\
&\ln\lambda_{t+1}=\gamma\ln\lambda_t+\varepsilon_{t+1}^\lambda\\
&\ln g_{t+1}=(1-\pi)\ln\bar{g}+\pi\ln g_t+\varepsilon_{t}^g,\;\;\text{这意味着}g_t\text{的稳态值为}\bar g\\
&\text{四个总量条件：}\\
&K_t=k_t^i,\;\;H_t=h_t^i\;\;C_t=c_t^i\;\; \hat{M}_t=\hat{m}_t^i=1
\end{align*}

该最优规划的拉格朗日函数为，
\begin{align*}
\mathcal{L} =\max_{c_t^i,h_t^i,k_{t+1}^i,\hat{m}_t^i} \hspace{1em}  & E_0\sum_{t=0}^\infty \beta^t \left[\ln c_t^i+Bh_t^i+\chi_t^1\left(\hat{p}_tc_t^i-\frac{\hat m_{t-1}^i+g_t-1}{ g_t}\right) \right. \\
+&\left. \chi_t^2\left(k_{t+1}^i+\frac{m_t^i}{p_t}-w_th_t^i-r_tk_t^i-(1-\delta)k_t^i\right) \right]
\end{align*}


其中，$ B=  A\frac{\ln (1-h_0)}{h_0}$。最优规划的一阶条件为，
\begin{align*}
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial c_t^i}&= \frac{1}{c_t^i}+\chi_t^1\hat{p}_t=0\\
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial h_t^i}&=B-\chi_t^2w_t=0\\
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial k_{t+1}^i}&= \chi_t^2-\beta E_t\chi_{t+1}[1-\delta+r_{t+1}]=0\\
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \hat{m}_t^i}&=\frac{\chi_t^2}{\hat{p}_t}-\beta E_t\frac{\chi_{t+1}^1}{g_{t+1}}=0
\end{align*}
类似地，关键是先消去两个$ \chi $。这可以通过前两个一阶条件而搞定，$ \chi_t^1=-\frac{1}{\hat{p}_tc_t^i},\chi_t^2=\frac{B}{w_t}$，然后代入后两个一阶条件，再结合两个流量约束条件，就有方程组如下，
\begin{align*}
\frac{1}{\beta}&=E_t\frac{w_t}{w_{t+1}}(1-\delta+r_{t+1})\\
\frac{B}{w_t\hat{p}_t}&=\beta E_t\frac{1}{\hat{p}_{t+1}c_{t+1}^ig_{t+1}}\\
\hat{p}_tc_t^i&=\frac{\hat m_{t-1}^i+(g_t-1)}{g_t}\\
k_{t+1}^i+\frac{\hat m_t^i}{\hat p_t}&=w_th_t^i+r_tk_t^i+(1-\delta)k_t^i
\end{align*}
然后得到稳态。

\section{交错定价}
前面的模型对冲击的反应都过于迅速，回归稳态也过于迅速，对于价格更是如此。因此，我们需要迟滞价格。这就是Calvo的模型，每期随机选定部分企业可以调整价格。这里就引入了生产中间产品的企业。
\subsection{最终产品企业}
中间产品$ Y_t(k) $是一个连续统，用$ k\in [0,1] $表示，这些产品各不相同，但最终被某个完全竞争的产品企业打包生产成第$ t $期的最终产品$ Y_t $，这个生产函数可以写为，
\[ Y_t=\left[\int_{0}^1Y_t(k)^{\frac{\psi-1}{\psi}}dk\right]^{\frac{\psi}{\psi-1}} \]
其中$ \psi>1 $。很容易看到这是常替代弹性的生产技术。一个要利润最大化的厂商要解决的最优规划是，
\[ \max_{Y_t(k)}P_t\left[\int_{0}^1Y_t(k)^{\frac{\psi-1}{\psi}}dk\right]^{\frac{\psi}{\psi-1}}-\int_{0}^1P_t(k)Y_t(k)dk \]

其一阶条件为(可以把积分写成求和的形式，然后对于单个的$Y_t(k)$求导来理解)，
\[ P_t\left[\int_{0}^1Y_t(k)^{\frac{\psi-1}{\psi}}dk\right]^{\frac{1}{\psi-1}}Y_t(k)^{\frac{-1}{\psi}}=P_t(k) \]
这就简化成需求函数(既定价格下，对产品的需求量)\footnote{\begin{align*}
	P_t\left[\int_{0}^1Y_t(k)^{\frac{\psi-1}{\psi}}dk\right]^{\frac{1}{\psi-1}}Y_t(k)^{\frac{-1}{\psi}}&=P_tY_t^{\frac{1}{\psi}}Y_t(k)^{\frac{-1}{\psi}}=P_t(k)\\
	\Longrightarrow Y_t(k)^{\frac{-1}{\psi}}& = \frac{P_t(k)}{P_tY_t^{\frac{1}{\psi}}}\\
	\Longrightarrow Y_t(k)&=Y_t\left(\frac{P_t}{P_t(k)}\right)^\psi
	\end{align*}}，
\[ Y_t(k)=Y_t\left(\frac{P_t}{P_t(k)}\right)^\psi \]

通过将这个单个中间产品的需求函数代入总生产函数，就可以得到价格指数或者说最终产品的定价规则，
\begin{align*}
& Y_t=\left[\int_{0}^1\left[Y_t\left(\frac{P_t}{P_t(k)}\right)^\psi\right]^{\frac{\psi-1}{\psi}}dk\right]^{\frac{\psi}{\psi-1}}=Y_t\left[\int_{0}^1\left(\frac{P_t}{P_t(k)}\right)^{\psi-1}dk\right]^{\frac{\psi}{\psi-1}}=Y_tP_t^\psi\left[\int_{0}^1\left(\frac{1}{P_t(k)}\right)^{\psi-1}dk\right]^{\frac{\psi}{\psi-1}}\\
 \Longrightarrow & P_t=\left[\int_{0}^1P_t(k)^{1-\psi}dk\right]^{\frac{1}{1-\psi}}
\end{align*}
\subsection{中间产品企业}
逻辑在于中间产品企业们不能每期选择自己产品的价格，只有$ 1-\rho $比例的企业随机选中，从而可以选择第$ t $期的价格，否则只能保持上一期价格不变。这就意味着，在$ t $期一旦价格确定，该价格就有$ \rho $的概率持续到$ t+1 $期，$ \rho^2 $的概率持续到$ t+2 $期。因此，具备在$ t $期选择价格的中间产品企业$ k $，它将如下最大化，
\begin{align}\nonumber
\max_{P_t(k)}&E_t\sum_{i=0}^\infty \beta^i\rho^i\left[P_t(k)Y_{t+i}\left(\frac{P_{t+i}}{P_t(k)}\right)^\psi-P_{t+i}r_{t+i}K_{t+i}(k)-P_{t+i}w_{t+i}H_{t+i}(k)\right]\\\label{med1}
s.t.\;\;& Y_{t+i}\left(\frac{P_{t+i}}{P_t(k)}\right)^\psi=\lambda_{t+i}K_{t+i}^\theta(k)H_{t+i}^{1-\theta}(k)
\end{align}

但上述最优化并不意味着成本最小化。现在来看看成本最小化问题，
\begin{align*}
\min_{K_{t+i}(k),H_{t+i}(k)}&r_{t+i}K_{t+i}(k)+w_{t+i}H_{t+i}(k)\\
s.t.\;\;&Y_{t+i}\left(\frac{P_{t+i}}{P_t(k)}\right)^\psi=\lambda_{t+i}K_{t+i}^\theta(k)H_{t+i}^{1-\theta}(k)
\end{align*}

类似地，从这两个一阶条件中消去拉格朗日乘子，有，
\[ \frac{(1-\theta)r_{t+i}}{\theta w_{t+i}}=\frac{H_{t+i}(k)}{K_{t+i}(k)} \]
利用上式和约束条件可以得到劳动和资本的需求为(注意，这里的$ \lambda $是技术冲击不是拉格朗日乘子)，
\begin{align*}
H_{t+i}(k)&= \frac{Y_{t+i}(k)}{\lambda_{t+i}}\left[\frac{r_{t+i}(1-\theta)}{w_{t+i}\theta}\right]^\theta\\
K_{t+i}(k)&= \frac{Y_{t+i}(k)}{\lambda_{t+i}}\left[\frac{r_{t+i}(1-\theta)}{w_{t+i}\theta}\right]^{\theta-1}
\end{align*}

利用需求函数就能得到最小化的成本为，
\begin{align*}
& r_{t+i}\frac{Y_{t+i}(k)}{\lambda_{t+i}}\left[\frac{r_{t+i}(1-\theta)}{w_{t+i}\theta}\right]^{\theta-1}+w_{t+i}\frac{Y_{t+i}(k)}{\lambda_{t+i}}\left[\frac{r_{t+i}(1-\theta)}{w_{t+i}\theta}\right]^\theta\\
\Longrightarrow & \frac{w_{t+i}}{(1-\theta)\lambda_{t+i}}\left[\frac{r_{t+i}(1-\theta)}{w_{t+i}\theta}\right]^\theta Y_{t+i}(k)
\end{align*}

把这个最小化的成本代入到\eqref{med1}式的最优规划中，则有，
\begin{align*}
&\max_{P_t(k)}E_t\sum_{i=0}^\infty \beta^i\rho^i\left[P_t(k)Y_{t+i}\left(\frac{P_{t+i}}{P_t(k)}\right)^\psi-\frac{P_{t+i}w_{t+i}}{(1-\theta)\lambda_{t+i}}\left[\frac{r_{t+i}(1-\theta)}{w_{t+i}\theta}\right]^\theta Y_{t+i}\left(\frac{P_{t+i}}{P_{t}(k)}\right)^\psi\right]\\
\Longrightarrow & \max_{P_t(k)}E_t\sum_{i=0}^\infty (\beta\rho)^iY_{t+i}\left(\frac{P_{t+i}}{P_t(k)}\right)^\psi\left[P_t(k)-\frac{P_{t+i}w_{t+i}}{(1-\theta)\lambda_{t+i}}\left[\frac{r_{t+i}(1-\theta)}{w_{t+i}\theta}\right]^\theta\right]
\end{align*}

其一阶条件为，
\[ 0 = E_t\sum_{i=0}^\infty (\beta\rho)^iY_{t+i}(k)\left[1-\psi+\frac{\psi P_{t+i}w_{t+i}}{P_t(k)(1-\theta)\lambda_{t+i}}\left[\frac{r_{t+i}(1-\theta)}{w_{t+i}\theta}\right]^\theta\right]
 \]
从而得到中间产品的定价规则，
\[ P_t(k)=\frac{\psi}{1-\psi}\frac{E_t\sum_{i=0}^\infty (\beta\rho)^iP_{t+i}Y_{t+i}(k)\frac{w_{t+i}}{(1-\theta)\lambda_{t+i}}\left[\frac{r_{t+i}(1-\theta)}{w_{t+i}\theta}\right]^\theta}{E_t\sum_{i=0}^\infty (\beta\rho)^iY_{t+i}(k)} \]

\textbf{整个过程，我们再捋一遍，第一步，通过最终产品的利润最大化得到中间产品的需求函数，代入目标函数从而得到总价格指数。第二步，利用这个需求函数作为约束，通过中间产品的成本最小化得到劳动和资本的需求函数，代入目标函数从而得到成本函数。第三步，通过中间产品的利润最大化得到中间产品的定价公式。}


\paragraph{Note}注意到，一个最优规划的求解次序，一般是得到一阶条件再消去拉格朗日乘子，然后一般还会代入原来的目标函数。这些步骤一般会产生具有相当经济内涵的表达。具体的，
\begin{itemize}
	\item 对于消费者的效用最大
	化问题(选择消费的数量以最大化效用)而言，这一步往往就得到了产品的需求函数，将这个需求函数代入效用函数，就得到了间接效用函数。
	\item 对于生产者利润最大化问题(选择生产的数量以最大化利润)而言，这就得到了产品的供给函数。
	\item 对于成本最小化问题(选择劳动或资本的数量以最小化成本)而言，这就得到了劳动和资本的需求函数，代入目标函数，就是企业的成本函数。
	\item 有时利润最大化问题和成本最小化问题是一个问题，有时不是。
\end{itemize}

现在，根据总的价格水平的定价规则，有价格的演变表达，
\[ P_t^{1-\psi}=\rho P_{t-1}^{1-\psi}+(1-\rho)P_t(k)^{1-\psi} \]

$ 1-\psi $次方是为了把价格变成水平形式，然后每期有$ \rho $比例不能调整价格，有$ 1-\rho $比例可以调整价格。
\subsection{家庭}
与CIA模型类似，有，


